Pourquoi les nombres premiers attirent toujours autant les mathématiciens ? C’est peut-être parce qu’ils interviennent dans les structures fondamentales des mathématiques. Cette fascination pour ces objets a conduit à la découverte de types différents de nombres premiers : nombres premiers de Mersenne (nombres premiers de la forme 2n − 1), nombres premiers équilibrés (nombres premiers égaux à la moyenne arithmétique de ses deux nombres premiers voisins), et les nombres premiers de Sophie Germain (un nombre premier p tel que 2p + 1 soit aussi premier), pour n’en citer que quelques-uns.
La représentation des nombres premiers en spirale (illustration ci-contre), permet de voir qu’il y a par endroits des aspects plus ou moins réguliers qui devraient nous renseigner sur la répartition des ces nombres, mais on ne peut en tirer aucune démonstration. On sait qu’il y a une infinité de nombres premiers, mais une conjecture affirme qu’il y aurait une infinité de nombres premiers dont l’écart est égal à 2 (par exemple 11 et 13 ou 59 et 61, ou encore 617 et 619). Ces nombres premiers sont alors appelés nombres premiers jumeaux. Cette conjecture n’a jusqu’à présent pas été démontrée.
En 2013, Yitang Zhang surprend tout le monde en démontrant qu’il y une infinité de nombres premiers dont l’écart est plus petit que 70 millions. Un projet collaboratif international en ligne Polymath8, ouvert à toute personne intéressée a regroupé des spécialistes du domaine. Par optimisation et améliorations successives de la méthode de Zhang, le projet a réussi, deux mois après son ouverture, à remplacer 70 millions par 4680 offrant par ailleurs une simplification de la preuve de Zhang. Par la suite, James Maynard (alors post-doctorant à l’Université de Montréal) et Terence Tao, indépendamment l’un de l’autre, ont développé une preuve considérablement plus simple permettant de remplacer 4680 par 600. « Cela faisait longtemps que je réfléchissais à cette question, confie James Maynard. Et la percée de Yitang Zhang été un déclencheur. En remettant mes idées en forme sur ce sujet, je me suis aperçu que je pouvais rendre la méthode bien plus efficace ». En juillet 2022, James Maynard a d’ailleurs reçu une médaille Fields en partie pour ce travail. En combinant les travaux de Zhang et Maynard, le projet Polymath8 a enfin permis de montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers successifs dont la différence est inférieure à 246. Ce n’est certes pas la conjecture des nombres premiers jumeaux, mais c’est une belle avancée. À suivre …
Représentation des nombres premiers en spirale
James Maynard